統計力学講義第一章統計力学の原理

物理統計力学講義統計力学講義

## 第一章 統計力学の原理
#### §1-1 時間平均
　熱浴に接していない容器(粒子数N)に対し，位相空間 \\( \Gamma (t) \\)を
 \\begin{equation*}
	 \Gamma(t) = (\bm{r_1}(t), \bm{p_1}(t), \bm{r_2}(t), \bm{p_2}(t), \cdots, \bm{r_N}(t), \bm{p_N}(t))
 \\end{equation*}
 とすると，物理量\\(A\\)は\\(\Gamma (t)\\)の関数，すなわち\\(A_t=A(\Gamma (t)) \\)であって，時間平均\\(\bar{A}\\)は
 \\begin{equation*}
	 \overline{A} := \lim_{\tau \to \infty} \frac{1}{\tau} \int dt A_t
\\end{equation*}

#### §1-2 位相平均
　等重率の原理：物理量\\(A\\)を介してみると，\\( \Gamma (t) \\)がエネルギー一定の空間を一様に経巡るように見える．
\\(H\\)をHamiltonian，\\( \Gamma (t) \\)を位相区間とすると，
\\begin{equation*}
H(\Gamma) = \sum^N_{i=1}\[\frac{\{\bm{p}\_i\}^2}{2m_i} + V(\bm{r\_i}) \] + \sum_{i \neq j} V(\bm{r}\_i,\bm{r}\_j)
\\end{equation*}
であり，\\(\Delta\\)を微小なエネルギー幅とすると位相平均\\(\langle A \rangle \\)は
\\begin{equation*}
 \langle A \rangle = \frac{\int_{E \leqslant H(\Gamma) \leqslant E + \Delta} d\Gamma A(\Gamma)}{\int_{E < H(\Gamma) < E + \Delta} d\Gamma}
\\end{equation*}

#### §1-3 エルゴート仮説
　等重率の原理を認める(エルゴート仮説)と，
 \\begin{equation*}
 \overline{A(\Gamma(0))} = \langle A \rangle \_{H(\Gamma(0)=E)}
 \\end{equation*}