Euler-Lagrange方程式の導出

物理解析力学

### 一般化座標の導入
\\(N\\)質点系を考える．運動が自由ならば自由度は\\(3N\\)だが，現実の物理系には何らかの光速条件がある．この光速条件は，数学的に二つに分けられる．
1. ホロノミック拘束
	位置座標と時間の代数的方程式でかける拘束．拘束の個数を\\(k\\)個として
	
	\\[
		f_\alpha (\bm{r}_1, \cdots, \bm{r}_N,t) = 0 \quad (\alpha = 1, \cdots, k)
	\\]
	
	すると，自由度を\\(3N-k\\)個に減らせる．\\(t\\)を陽に含むときレオノミック，含まない場合をスクレロノミックという．
2. 非ホロノミック拘束
	上の形に帰着できないもの．不等式や積分不可能な微分形式などで与えられる．
	
	以下のパフ形式などがある

\\begin{equation*}
		\sum\_{i=1}^N \bm{A}\_{\alpha i} (\bm{r},t) \cdot d \bm{r}\_i + A\_{\alpha t} (\bm{r},t) dt = 0
	\\end{equation*}

ホロノミック拘束が\\(k\\)個ある系では，独立な変数の数は\\(n=3N-k\\)個．この時，系の状態を記述するのに都合のいい変数の組\\( (q_1,\cdots,q_n)\\)を選べる．この組を一般化座標という．
\\begin{equation*}
	\bm{r}\_i = \bm{r}\_i (q_1,\cdots,q_n,t)
\\end{equation*}
この逆変換が一意，つまり独立した座標系として成立する条件は，変換のJacobi行列のrankが\\(n\\)であること．

以降，ホロノミック拘束の場合を考える．

### 仮想変位
拘束条件を満たしながら系を仮想的に微小変位させることを考える．通常の微小変位\\(d\bm{r}\\)は
\\begin{equation*}
	d\bm{r}\_i = \sum_{j=1}^n \dd{\bm{r}\_i}{q\_j} dq\_j + \dd{\bm{r}\_i}{t}dt
\\end{equation*}
だが，仮想変位は時間を固定した状態(\\(\delta t = 0\\))で考え，
\\begin{equation*}
	\delta \bm{r}\_i = \sum_{j=1}^n \dd{\bm{r}\_i}{q_j}\delta q_j
\\end{equation*}
とする．

拘束力\\(\bm{R}\_i\\)とは，系が拘束条件から外れないよう引き戻す力であるから，基本的に拘束面に対して垂直に働く．すなわち，拘束力は仮想仕事をしない．
\\begin{equation*}
	\sum_{i=1}^N \bm{R}\_i \cdot \delta \bm{r}\_i = 0
\\end{equation*}
拘束力は一般には定式化が困難であるから，この力を含まないような方程式の定立が目標となる．

### 仮想仕事の原理・d'Alembertの原理
* ##### 静力学の場合
	質点系に働く力を\\(\bm{F}\_i\\)，外力を\\(\bm{F}\_i ^{(\alpha)}\\)，拘束力を\\(\bm{R}\_i\\)とすると，
	\\begin{align*}
		&\bm{F}\_i = \bm{F}\_i ^{(\alpha)} + \bm{R}\_i = 0 \\\\
		\therefore &\sum_{i=1}^N (\bm{F}\_i ^{(\alpha)} + \bm{R}\_i) \cdot \delta \bm{r}\_i = 0 \\\\
		\therefore &\sum_{i=1}^N \bm{F}\_i ^{(\alpha)} \cdot \delta \bm{r}\_i = 0 
	\\end{align*}
	これは，*系が釣り合っているための必要十分条件は，任意の仮想変位に対して外力のする仮想仕事の総和が0であること*，という**仮想仕事の原理**をあらわしてる．

* #### 動力学への拡張
	Newtonの運動方程式\\(\dot{\bm{p}}\_i = \bm{F}\_i^{(\alpha)} + \bm{R}\_i\\)を
	\\begin{equation*}
		\bm{F}\_i^{(\alpha)} + \bm{R}\_i - \dot{\bm{p}}\_i = \bm{0}
	\\end{equation*}
	と変形し，\\(-\dot{\bm{p}}\_i\\)を慣性力とみなすことで仮想的に力が釣り合っていると考えられる．これを動的つり合いという．よって，
	\\begin{align*}
		&\sum_{i=1}^N (\bm{F}\_i^{(\alpha)} + \bm{R}\_i - \dot{\bm{p}}\_i) \cdot \delta \bm{r}\_i = 0 \\\\
		\therefore & \sum_{i=1}^N (\bm{F}\_i^{(\alpha)} - \dot{\bm{p}}\_i) \cdot \delta \bm{r}\_i =0
	\\end{align*}
	これをd'Alembertの原理という．以上で，不明な力である拘束力\\(\bm{R}\_i\\)を全く含まない形で動力学を記述できる．
	
### Euler-Lagrange方程式の導出
この式を，扱いやすい一般化座標\\(\{q_j\}\\)で表す．外力の項について，
\\begin{align*}
	 &\sum_{i=1}^N \bm{F}\_i^{(\alpha)} \cdot \bm{r}\_i \\\\
	 = & \sum_{i=1}^N \bm{F}\_i^{(\alpha)} \cdot \left(  \sum_{j=1}^n \dd{\bm{r}\_i}{q_j} \delta q_j \right) \\\\
	 = &  \sum_{j=1}^n \left( \sum_{i=1}^N \bm{F}\_i^{(\alpha)} \cdot \dd{\bm{r}\_i}{q_j} \right) \delta q_j
\\end{align*}
一般化力\\(Q_j\\)を
\\begin{equation*}
	Q_j := \sum_{i=1}^N \bm{F}\_i^{(\alpha)} \cdot \dd{\bm{r}\_i}{q_j}
\\end{equation*}
と定義すると，
\\begin{equation*}
	\sum_{i=1}^N \dot{\bm{p}}\_i \cdot \delta \bm{r}\_i = \sum_{j=1}^n Q\_j \delta q\_j
\\end{equation*}
左辺について，これを一般化座標\\(\{q_j\}\\)で表すと，
\\begin{equation*}
	\sum_{i=1}^N \dot{\bm{p}}\_i \cdot \delta \bm{r}\_i = \sum_{j=1}^n \left( \sum_{i_1}^N m_i \ddot{\bm{r}}\_i \cdot \dd{\bm{r}\_i}{q_j} \right) \delta q_j
\\end{equation*}
ここで，
\\begin{align*}
	&\dd{\bm{r}\_i}{q_j} = \frac{d}{dt} \left( \dd{\bm{r}\_i}{q_j} \right) \\\\
	&\dd{\dot{\bm{r}\_i}}{\dot{q_j}} = \dd{\bm{r}\_i}{q_j}
\\end{align*}
に注意すると，
\\begin{align*}
	\ddot{\bm{r}}\_i \cdot \dd{\bm{r}\_i}{q_j} &= \frac{d}{dt} \left( \dot{\bm{r}}\_i \cdot \dd{\bm{r}\_i}{q_j} \right) - \dot{\bm{r}}\_i \cdot \frac{d}{dt} \left( \dd{\bm{r}\_i}{q_j} \right) \\\\
	&= \frac{d}{dt} \left( \dot{\bm{r}}\_i \cdot \dd{\dot{\bm{r}}\_i}{\dot{q_j}} \right) - \dot{\bm{r}}\_i \cdot \dd{\dot{\bm{r}}\_i}{q_j}
\\end{align*}
ここで，系の全運動エネルギー\\(T=\sum\_i \frac{1}{2} m\_i \dot{\bm{r}}\_i^2\\)について，
\\begin{align*}
	&\dd{T}{\dot{q}\_j} = \sum\_i m\_i \dot{\bm{r}}\_i \cdot \dd{\dot{\bm{r}}\_i}{\dot{q}\_j} \\\\
	&\dd{T}{q\_j} = \sum\_i m\_i \dot{\bm{r}}\_i \cdot \dd{\dot{\bm{r}}\_i}{q\_j}
\end{align*}
だから，
\\begin{equation*}
	\sum_{i_1}^N m_i \ddot{\bm{r}}\_i \cdot \dd{\bm{r}\_i}{q_j} = \frac{d}{dt} \left( \dd{T}{\dot{q}\_j} \right) - \dd{T}{q\_j}
\\end{equation*}
よって，d'Alembertの原理の式は，
\\begin{equation*}
	\sum\_{j=1}^n \left\[ \frac{d}{dt} \left( \dd{T}{\dot{q}\_j} \right) - \dd{T}{q\_j} - Q\_j \right\] \delta q\_j = 0
\\end{equation*}
ここで，ホロノミック拘束ならば仮想変位\\( \{\delta q\_j\} \\)は互いに独立にとれるから，この式が成立するならば，
\\begin{equation*}
	\frac{d}{dt} \left( \dd{T}{\dot{q}\_j} \right) - \dd{T}{q\_j} - Q\_j = 0
\\end{equation*}
力が保存力で，ポテンシャル\\(U(q\_1,\cdots,q\_n)\\)を用いて，\\( Q\_j = -\dd{U}{q\_j} \\)と書けるならば，\\(\dd{U}{\dot{q}\_j}=0\\)だから，Lagrangian \\(L\\)を，
\\begin{equation*}
	L := T - U
\\end{equation*}
で定義すると，
\\begin{equation*}
	\frac{d}{dt} \left( \dd{L}{\dot{q}\_j} \right) - \dd{L}{q\_j} = 0
\\end{equation*}
これをEuler-Lagrange方程式という．