Michelson-Morleyの実験

物理実験相対性理論

### 実験の目的
Maxwell方程式
\\begin{align*}
&\nabla \cdot \bm{E}=\frac{\rho}{\epsilon_0} \\\\
&\nabla \cdot \bm{B}=0 \\\\
&\nabla \times \bm{E}=-\dd{\bm{B}}{t} \\\\
&\nabla \times \bm{B}=\epsilon_0 \mu_0 \dd{\bm{E}}{t} + \mu_0 \bm{j}
\\end{align*}
から，以下の真空の電磁波の波動方程式が導かれる．
\\begin{equation*}
\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}
\\end{equation*}
よって，電磁波の速度は\\(c\\)．

しかし，Galileiの相対原理によれば，光速は慣性系により異なるはず．

つまり，Maxwellの理論はガリレイ変換の下で不変ではなく，Maxwellの理論が成り立つのは，その系で測った光速が\\(c\\)に等しいような系に限られる．このような系を絶対系と呼ぶ．

すると，絶対系に対する地球の絶対速度を考えることできる．

この絶対速度を測る試みの一つが，Michelson-Morleyの実験である．

### 実験方法
<figure style="text-align: center">
	<img src="images/MMex.png" alt="実験装置" width="80%">
	<figcaption>図1. Michelson-Morleyの実験装置
	(出典: 内山龍雄『相対性理論』(岩波書店, p.9 図2))</figcaption>
</figure>

地球が\\(\overrightarrow{MM_1}\\)方向に速さ \\(v\\)で絶対運動しているとする．

光源Lから出た光は，二つの経路
1. \\(L_1 : M \to M_1 \to M\\)
2. \\(L_2 : M \to M_2 \to M\\)

を進み，干渉計において光路差に応じて干渉する．

光が\\(L_1\\)を進むのにかかる時間\\(T_1\\)は
\\[
T_1 = \frac{l_1}{c-v} + \frac{l_1}{c+v} = 2 \frac{l_1}{c} \frac{1}{1-\beta^2}
\\]

光が\\(L_2\\)を進むのにかかる時間\\(T_2\\)は

\\begin{align*}
T_2 &= \frac{2\sqrt{(l_{2})^2 + (vT_{2} /2)^2}}{c} \\\\
\therefore T_2 &= 2 \frac{l_2}{c} \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}
\\end{align*}

よって，\\(L_1\\)と\\(L_2\\)の光路差\\(\Delta\\)は，

\\begin{align*}
\Delta &= c(T_1-T_2) \\\\
&= 2 \left( \frac{l_1}{1-\beta^2} - \frac{l_2}{\sqrt{1-\beta^2}} \right)
\\end{align*}

さて，装置全体を時計回りに\\(\pi/2\\)回転させて，改めて\\(L_1'\\)と\\(L_2'\\)の光路差\\(\Delta'\\)を測ると，

\\begin{align*}
\Delta' &= c(T_1'-T_2') \\\\
&= 2 \left( \frac{l_1}{\sqrt{1-\beta^2}} - \frac{l_2}{1-\beta^2} \right)
\\end{align*}

よって，この回転の前後の光路差は，

\\[\delta = \Delta' - \Delta \simeq -(l_1 + l_2) \beta^2 \\]

つまり，\\(\beta = 0\\)でない限り干渉縞の移動が生じるはずである．

### 実験結果
しかし，実験事実として，このような干渉縞の移動は確認されなかった．

このことから，\\(\beta = 0\\)すなわち，地球が唯一Maxwellの理論が成り立つような絶対系であるという結論に行き着く．

物理学者たちは，この都合の良すぎる結論は，物理の理論的な誤りにより生じると考え，物理理論の修正を試みた．

### 参考文献
内山龍雄『相対性理論』(岩波書店, 1977, pp. 1~12)